非经典逻辑

Posted on 2024-08-13 繁/简： set

凡是可说的东西，都可以明白地说，凡是不可说的东西，则必须对之沉默。

—— 维特根斯坦

记录一下 NUS 讲非经典逻辑的这门课，课号是 PH2112。

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经典逻辑 Classical Logic

经典逻辑其实就是命题逻辑。惊喜的发现这一部分已经在离散数学里学过了！

argument: premise(s) + conclusion.

an argument is valid just in case if the premises are True, then the conclusion is True.
an argument is sound just in case if it's valid and its premises are True.

Language - surface form (in case of a fire, do not use the lift) - logical form (less ambiguity)

Interpretation - a function which assigns True or False to each sentence (aka propositions).

truth-functional - negation, conjunction, disjunction, conditional, biconditional.

redefine validity \(\models\): An argument is valid iff in every interpretation (row) in which the premises are true so is the conclusion.
equivalance: Two arguments are equivalent if they are the same in every row of the truth table.
tautology: An argument is a tautology, iff it is True in every row of the truth table.
contradiction: An argument is a contradiction iff it is False in every row of the truth table.

经典逻辑的最大问题在于它 poorly describes if - 这一点我在 2121 里就有所察觉。给定命题 \(A,B\) 与 \(A\supset B\)，经典逻辑认为以下 arguments 是 valid 的：

if \(A\) is False, \(A\supset B\) is True (negative paradox).
if \(B\) is True, \(A\supset B\) is True (positive paradox).

经典逻辑在这里展现出的矛盾即是 paradoxes of material implication。

The model semantics employs the notion of a possible world.

引入的两个新的重要算子 necessity \(\Box\) 与 possibility \(\Diamond\)。

Grammar. If \(A\) is a formula, so are \(\Box A\) and \(\Diamond A\).
\(\Box A\) is True at \(w\) iff \(A\) is True of \(v\) for all \(v\).
\(\Diamond A\) is True at \(w\) iff \(A\) is True of \(v\) for some \(v\).

模态逻辑通过 enforce 严格条件 (strict conditionals) 来规避经典逻辑中 \(\supset\) 产生的悖论。具体来说，经典逻辑将 "If \(p\), then \(q\)" 翻译为 \(p\supset q\)，而模态逻辑则翻译为 \(\Box(p\supset q)\)。

引入 relation \(R\) 来描述世界间的 accessibility。对于世界 \(w,v\)，如果 \(wRv\)，可以说 world \(w\) sees world \(v\) (在当前世界我能够想象到的其他差异世界)。对应的，修改 \(\Box\) 与 \(\Diamond\) 的定义如下。

\(\Box A\) is True at \(w\) iff \(A\) is True of \(v\) for all \(v\) that \(wRv\).
\(\Diamond A\) is True at \(w\) iff \(A\) is True of \(v\) for some \(v\) that \(wRv\).

定义 basic normal model logic 为 \(K\)，它给出的 \(R\) 是一个 random relation，无任何性质上的保证。在 \(K\) 上生发出了五种重要的 normal model logics。

\(K_{\rho}\), reflexivity: for all \(w, wRw\). e.g., \(\models_{K_\rho} \Box p \supset p\)
\(K_\sigma\) symmetry: for all \(w_1,w_2\), if \(w_1Rw_2\), then \(w_2Rw_1\). e.g., \(\models_{K_\sigma} p\supset \Box\Diamond p\)
\(K_\tau\) transitivity: for all \(w_1,w_2,w_3\), if \(w_1Rw_2\) and \(w_2Rw_3\), then \(w_1Rw_3\). e.g., \(\models_{K_{\tau}}\Box p\supset \Box\Box p\)
\(K_{\eta}\) extendability: for all \(w_1\), there is a \(w_2\) such that \(w_1Rw_2\). e.g., \(\models_{K_\eta} \Box A\supset \Diamond A\)
\(S5\): for all \(w_1\) and \(w_2\), \(w_1Rw_2\) - everything relates to everything.

值得注意的是 \(K_\eta\) 常用于表示 moral necessity，在这个语境下，\(\Box\) 表示 obligatory, "ought"；而 \(\Diamond\) 表示 permissible, "may"。tautology \(\Box A\supset \Diamond A\) 于是表达了这样的道德必要性："ought implies may"。

Strict Conditionals

为解决经典逻辑中 if 定义产生的问题，strict conditional 将 if A, then B 定义为 \(\Box(A\supset B)\)。注意：

为保证 modus ponens \(A, \Box (A\supset B)\models B\) 成立，严格条件所对应的模态逻辑需要 at least as strong as \(K_\rho\)。
但无论在何种模态逻辑下，严格条件又会带来新的问题 (paradoxes of strict implication)。

若 \(1+1=2\) 是 logical truth，下列反直觉的 strict implications 在严格条件下却是 valid 的。

If Brisbane is in Australia, \(1+1=2\): \(\Box B\models \Box(A\supset B)\)
If \(1+1\neq 2\), Brisbane is in Germany: \(\lnot\Diamond A\models \Box(A\supset B)\)

条件逻辑 Conditional Logic

日常生活中的论证常常是隐去前提的，即 enthymemes。

当我在说 明天不下雨，我们就去打羽毛球吧 时，这句话同样隐含了 1) 明天我的羽毛球拍不会坏 2) 明天羽毛球场有空位 3) 明天我的手不会受伤 4) 明天外星人不会入侵羽毛球场 …… 等一系列 open-ended and indefinite 的前提。从这里下手，无论是实质还是严格条件都会有被推翻的风险 (Antecedent strenthening, Contraposition 等规则会变得反直觉)。

条件逻辑引入了 ceteris paribus (the Latin for 'other things being equal') clause：当我在说 明天不下雨 时，我实际说的是 在明天不下雨，且其他事物不变的世界里，我们去打羽毛球吧。

在模态逻辑 \(K_v\) 下 (不考虑世界之间 accessibility 的逻辑，其实是 \(S5\))，条件逻辑 \(C\) 把 if A then B 定义为 \(A>B\): \[ v_w(A>B)=1\text{ iff for all }w' \text{ such that } wR_Aw', v_{w'}(B)=1 \] 这里的 \(R_A\) 即是 ceteris paribus，它表示在世界 \(w'\) 中有 \(A\) 为真，且除此之外的事物均与 \(w\) 相同。

此外，再引入 notations \(f_A(w)=\{x\in W:wR_Ax\}\) 与 \([A]=\{w:v_w(A)=1\}\)。使用这个表示，我们可以把条件逻辑 \(C\) 写为：\(V_w(A>B)=1\text{ iff } f_A(w)\subseteq [B]\)。

\(C^+\) 则在 \(C\) 的基础上添加了两个符合直觉的限制。

\(f_A(w)\subseteq [A]\). it's natural to require \(A\) to be true at \(w'\) if \(wR_Aw'\).
If \(w\in [A]\), then \(w\in f_A(w)\). if \(A\) is already true in \(w\), then, presumably, the worlds that are essentially the same as \(w\) except \(A\) is true there, must include \(w\) itself.

Similarity Sphere

我们说 \(f_A(w)\) 是 the worlds essentially the same as \(w\) except that \(A\) is true there；这个 essentially 的程度值得商榷。也就是说，在 ceteris paribus clause \(R_A\) 中同样也分重要程度。

藉此我们不妨把所有世界按照与 \(w\) 的相似程度 (similarity) 划分成若干个相互包含的球面 (sphere) \(S_1,S_2,...\)，并重新定义 \(f_A(w)=S_i\cap [A]\text{ for the smallest }i\)。也就是说，我们定义这个 essentially 的程度为：应当有这么一个世界的集合，它与 \([A]\) 有重合，且尽量使得该世界集合尽量与 \(w\) 相似。

f_A(w) is the area marked with crosses: here i=1 — \(f_A(w)\) is the area marked with crosses: here \(i=1\)

易证这样的定义满足约束 \((1),(2)\)，因此它是 \(C^+\) 的一个 extension。

除此之外，这样的结构又带来了三个新的约束 (画出 \(f_A(w), [A], f_B(w), [B]\) 的韦恩图易证)：

If \([A]=\emptyset\), then \(f_A(w)\neq \emptyset\).
If \(f_A(w)\subseteq [B]\) and \(f_B(w)\subseteq [A]\), then \(f_A(w)=f_B(w)\).
If \(f_A(w)\cap [B]\neq \emptyset\), then \(f_{A\land B}(w)\subseteq f_A(w)\).

约束 \((1),(2),(3),(4),(5)\) 定义下的条件逻辑为 \(S\)。

\(C_1\) and \(C_2\)

在 \(S\) 的基础之上，\(C_2\) 又添加了一个新的约束：

If \(x\in f_A(w)\) and \(y\in f_A(w)\), then \(x=y\).

\((6)\) implies that for any world, \(w\), if there are any worlds at which \(A\) is true, then there is a unique world closest to \(w\) at which \(A\) is true.

该约束可以很容易的基于世界的对称性反驳：Bizet-Verdi couterfactuals。Bizet 与 Verdi 是同时代人，但一个是法国人，一个是意大利人。那么，一个 Bizet 与 Verdi 同时是法国人，或者同时是意大利人的世界显然与我们所在的世界有着同样的相似度 (一个他们同时是德国人的世界则离我们的世界更远)。

\(C_2\) 条件逻辑中，Conditional Excluded Middle 条件排中律 \((A>B)\lor (A>\lnot B)\) 成立 (在 \(S\) 中不成立)。

条件排中律是有问题的。令 \(A\) 为 it will rain tomorrow or it won't, \(B\) 为 it will rain tomorrow。显然 \(A>B\) 与 \(A>\lnot B\) 均为假，但条件排中律却判断 \((A>B)\lor (A>\lnot B)\) 为真。

David Lewis 发现了这个问题，他定义了 \(C_1\)，将 \((6)\) 替换成了 \((7)\)：

If \(w\in [A]\) and \(w'\in f_A(w)\), then \(w=w'\).

\((7)\) implies that if \(A\) is true at \(w\), then the most similar worlds at which \(A\) is true comprise just \(w\) itself (Any world is more similar to itself than any other world).

注意 \((2)\) 与 \((6)\) 可以推断出 \((7)\)，但反之则不行。这说明 \(C_2\) 可视作 \(C_1\) 的 extension。

条件排中律在 \(C_1\) 中不成立，但命题 \(A\land B\models A>B\) 成立 (在 \(S\) 中不成立)；该命题显然也是有问题的，经典的相关性与因果性混淆：If the fortune-teller says that you will come into a large sum of money, you will。

本章中的所有条件逻辑按强度升序排列为 \(C,C^+,S,C_1,C_2\)。

逻辑树 Tableau

证明 \(A\models B\) 的利器。

递归的对 \(A\) 与 \(\lnot B\) 进行原子化，遇 \(\land\) 继承，遇 \(\lor\) 分叉。逻辑树的每一个枝杈是 argument 的一个 interpretation。若枝杈发展到最后，存在 \(p\) 与 \(\lnot p\) 的 contradiction，我们标记该枝杈为 closed。若逻辑树的每一个枝杈都 closed，说明每种 interpretation 都能保证在 \(A\) 为真的前提下 \(B\) 一定非假；这符合 validity 的定义。

证明 \(A\) 是 tautology \(\models A\)：对 \(\lnot A\) 进行展开。证明 \(A\) 是 contradiction \(\not \models A\)：无需 negate。

模态逻辑树则稍微复杂一点。我们需要维护一个由 possible world set，并在每一个世界都检查是否有矛盾出现。

\(\Box A,w +wRv \longrightarrow A,v\) for all old \(v\)
\(\Diamond A,w\longrightarrow wRv+A,v\) for a new \(v\) (因此，尽量先做 \(\Diamond\) 来增加世界).
\(\lnot \Box A\equiv \Diamond \lnot A\), \(\lnot \Diamond A\equiv \Box \lnot A\).

Reference

This article is a self-administered course note.

References in the article are from corresponding course materials if not specified.

Course info: PH2112 Non-Classical Logic. Prof. Ben Blumson.

Course textbook: From If to Is: An Introduction to Non-Classical Logic, 2008, Graham Priest

-----------------------------------そして、次の曲が始まるのです。-----------------------------------