Ptolemy.
托勒密的天文学大成 Almagest 将古希腊行星理论推向了巅峰。他使用极其复杂的数学模型完善了双球理论（主要是为了满足正圆轨道与旋转速度恒定的形而上学 constraints），并能相当精确的预测各种星象。
首先，托勒密基于 tropical periods 的观测数据 (源自欧多克索斯 Eudoxus of Cnidus，另一位柏拉图的学生)，提出了一个符合直觉的宇宙模型：行星轨道按周期长短由近及远排列，形成以地球为中心的同心球层体系——从内到外依次为：月球 (1 个月)、水星 (1 年)、金星 (1 年)、太阳/黄道 (1 年)、火星 (2 年)、木星 (12 年)、土星 (30 年)。
这一排序中，太阳的特殊位置反映了柏拉图对对称性的追求——令其内外各分布三颗行星，而水星在内金星在外的顺序则包含幸运的猜测成分。赫拉克利德斯 提出的埃及系统 Egyption System 则将这两颗行星安排在绕太阳旋转的轨道上。
接下来，为了解释 variation in speed，行星的 retrograde 等问题，托勒密应用了 three artificial constructions:
- Epicycle => retrograde. Planet rotates on a small circle, while the smaller circle rotates around the larger deferent circle.
- Eccentric => variation in speed. Place the Earth off-center.
- Equant => variation in speed. Locate an artificial Centre of Motion about which the speed is uniform.
此外，托勒密还测算了整个宇宙模型的半径。他先在其著作 行星假说 Planetary Hypotheses 中做出了「宇宙无虚空」的假设：各行星的 epicycle 相切但不重叠 (同样也是相当形而上的假设)，在此基础上计算出宇宙半径 $=$ 19,865 倍地球半径。
虽然这一推算并不像埃拉托斯特尼对地球半径的推算那样精准 (现代数据是其 10 倍)，但接近 2w 倍地球半径大小的宇宙，还是给当时的人们以巨大的冲击。
Sun leads the dance
托勒密模型中存在一些奇怪的，难以解释的巧合，它们都与太阳有关。
- 对于 inferior planets 比如金星，水星，它们的轨道在黄道内；地球、本轮圆心 (center of epicycle) 与太阳一定共线：这是为了匹配 limited elongation 的数据。
- 对于 superior planets 比如火星，木星与土星，它们的轨道在黄道外；本轮圆心-行星线一定平行于地日线：这是为了匹配行星逆行时冲日的数据。
- 这意味着 inferior planets 的 tropical period 一定是 1 年 (本轮圆心在均轮上旋转同步与太阳在黄道上旋转)，且 superior planets 的 epicycle period 一定是 1 年 (行星绕本轮旋转同步与太阳绕地球旋转)。
P.S. 行星的 epicycle period 与 synodic period 并不一致！
这些巧合揭示了太阳的某种特殊地位：地日连接线似乎控制着行星的运动方式。托勒密并未对这种现象作出解释，而之后基督教在吸纳亚里士多德-托勒密体系后简单的称其为「上帝的设计」。至于上帝为什么要如此设计？这就不在人类理解的范畴内了。