小信号模型

模拟信号（传感器输出的电压，麦克风信号，无线接收信号等）通常很小，数字电路无法识别，所以需要放大器（amplifier）作为模拟信号与数字信号间的桥梁。

考虑一个放大器，前级是一个信号源加一个内阻 $R_S$，放大器输入阻抗是 $R_{in}$。进入放大器的电压是：

$$
v_{in}=v_s\frac{R_{in}}{R_S+R_{in}}
$$

为使 $v_{in}=v_s$，理想放大器的输入阻抗 $R_{in}=\infty$。接下来看输出端。若放大器内部理想输出电压为 $A_v v_{in}$，输出阻抗为 $R_{out}$，后接负载 $R_L$，那么负载分压为：

$$
v_L=A_v v_{in} \frac{R_L}{R_{L}+R_{out}}
$$

为使 $v_L=A_v v_{in}$，理想放大器的输出阻抗为 $R_{out}=0$。

MOS 管天然适合做放大器，因为栅极基本不吸收电流，所以输入阻抗无限大；但 MOS 的漏级电流又受到 $V_{GS}$ 控制。一个较小的栅源电压变化 $v_{gs}$，引起漏极电流的变化 $g_m v_{gs}$，这是 MOS 放大器的基本机制。

共源极放大器

共源极放大器（common source amplifier，CS）得名于源级作为输入信号与输出信号共同参考的端点。

CS 的结构

CS 的工作原理是：$V_{in}$ 升高，$I_d$ 升高，$R_L$ 从 $v_{ds}$ 中分压更多，所以 $V_{out}$ 降低。CS 是反相放大器。

我们期望 $V_{in}=v_{gs}$ 是控制 $I_d$ 的主要因素，所以 MOS 管一定要处在饱和状态（见一阶晶体管模型）。设定好合适的 DC bias 使得 $V_{out}>V_{in}-V_T$ 让 MOS 稳定的处在饱和区，小信号在这个工作点上做小幅的摆动。

接下来分析一下 CS 的小信号模型（small signal model）。小信号模型只分析变化量，所有固定的 DC 电流源都视为接地，即 AC ground。小信号变化作用在栅极上 $v_g=v_{in}$。

首先是两个重要的参数，放大倍率 $g_m$（$v_{in}$ 的变化导致 $I_{ds}$ 变化的能力有多强）与沟道长度调制（channel length modulation）带来的等效输出电阻 $r_o$。

回忆饱和 MOS 管的 IV 模型：

$$
I_{ds}=\frac{\beta}{2}(V_{gs}-V_T)\Rightarrow I_{DS}=\frac{\beta}{2}(V_{GS}-V_T)
$$

由于输入信号的摆动足够小，可以做一个线性近似。在 DC bias 工作点 $(V_{GS}, V_{DS}, I_{DS})$ 处对 $V_{gs}$ 求导，有跨导（transconductance）$g_m$：

$$
g_m=\frac{\partial I_{ds}}{\partial V_{gs}}=\left.\beta(V_{gs}-V_T)\right|_{v_{gs}=V_{GS}}=\beta(V_{GS}-V_T)=\sqrt{2\beta I_{DS}}
$$

带沟道长度调制的饱和 MOS 管 IV 模型还与 $V_{ds}$ 有关：

$$
I_{ds}=\frac{\beta}{2}(V_{gs}-V_T)^2(1+\lambda V_{ds})\Rightarrow I_{DS}=\frac{\beta}{2}(V_{GS}-V_T)^2(1+\lambda V_{DS})
$$

对 $V_{ds}$ 求导，得到输出电导（output conductance）$g_{ds}$ 与其倒数等效输出电阻 $r_o$：

$$
g_{ds}=\frac{\partial I_{ds}}{\partial V_{ds}}=\left.\frac{\lambda\beta}{2}(V_{gs}-V_T)^2\right|_{v_{gs}=V_{GS}}=\frac{\lambda\beta}{2}(V_{GS}-V_T)^2\Rightarrow r_o=\frac{1}{g_{ds}}
$$

$小信号模型：电流源 $g_m v_{gs}$ 与等效输出电阻 $r_o$$

小信号模型：电流源 $g_m v_{gs}$ 与等效输出电阻 $r_o$

有了这两个参数，便可以求取放大器的：

输入与输出电阻：栅极不通电，输入电阻 $R_{in}=\infty$；输出电阻是负载与沟道长度调制等效电阻的并联 $R_{out}=r_o//R_L$。

求输出电阻时，可以把 $v_{in}$ 设为 AC ground，从 $v_{out}$ 处往里看。

增益（gain）：

$$
i_d=g_m v_{gs}=g_m(v_{in}-0)=g_m v_{in}
$$

整个图可视作小信号电流，$r_o$，$R_L$ 在 $v_{out}$ 与 AC ground 间的并联。小信号电流 $i_d>0$ 从漏极流向源极，定义这个方向为正方向。输出端处没有电流，根据 KCL，电阻支路的电流为 $-i_d$。

$$
A=\frac{v_{out}}{v_{in}}=\frac{-i_d (r_o//R_L)}{v_{in}}=-g_m(r_o//R_L)
$$

$v_{in}$ 上升，$v_{out}$ 因为 $R_{out}$ 的分压下降了；所以增益 $A$ 为负，CS 是反相的。

偏置

图示见 Lecture 10, pp.10，不太好截。

CS 的 MOS 管一定要置于饱和状态才能工作。有两种方法，

分压偏置（voltage divider biasing），源极经过一个额外的电阻 $R_S$ 接地，漏级经过一个额外的电阻 $R_D$ 接 $V_{DD}$。

$$
\begin{aligned}
V_{GS}&=V_G-V_S=\frac{V_{DD}R_2}{R_1+R_2}-I_{DS} R_S \\
I_{DS}&=\frac{\beta}{2}(V_{GS}-V_t)^2
\end{aligned}
$$

求解出工作点 $(V_{GS}, V_{DS}, I_{DS})$，检查是否满足 $V_{DS}>V_{GS}-V_T$。

自偏置（Self-Biasing），不做分压，接一个额外的栅极电阻 $R_G$。

$$
\begin{aligned}
V_{DD}&=I_D R_D+V_{GS}+I_D R_S\\
I_{DS}&=\frac{\beta}{2}(V_{GS}-V_t)^2
\end{aligned}
$$

同样可求解出工作点，但自偏置无需检查饱和条件。这是因为 $V_{D}=V_{G}$（栅极上无电流），一定有 $V_D>V_G-V_T$，所以 $V_{DS}>V_{GS}-V_T$ 自然满足了。

MOS 连接的小信号等效电阻

分析等效电阻，假设栅极施加了固定的的偏置电压 $v_{g}=V_b$，将其视作 AC ground 即 $v_{g}=0$。从漏级加测试电压 $v_T$，漏源间有测试电流 $i_T$。

单 NMOS [Lecture 10 pp.11]

$v_{gs}=0\Rightarrow R=r_o$

源极退化的 NMOS（Degenerated source，即源极通过额外的电阻 $R_s$ 接地）[Lecture 10 pp.12]

$$
v_{gs}=v_g-v_s=-i_T R_s
$$

$g_m v_{gs}=- g_m i_T R_s$，相当于产生了从源到漏的小信号电流，与 $R_s$ 并联。计算测试电压 $v_T$：

$$
v_T=(i_T-g_m v_{gs})r_o+i_T R_s=(i_T+g_m i_T R_s)r_o+i_T R_s
$$

所以有等效电阻：

$$
R=\frac{v_T}{i_T}=R_s+r_o+g_m R_s r_o
$$

二极管接 MOS（Diode-connected MOS）[Lecture 10 pp.13]

测试电压 $v_T$ 同时作为栅极电压 $v_g$ 的来源。所以有：

$$
v_{gs}=v_g-v_s=v_T-i_T R_s
$$

有等效电阻：

$$
\begin{aligned}
R &=\frac{v_T}{i_T}=\frac{(i_T-g_m v_{gs})r_o+i_T R_s}{i_T}=\frac{(i_T-g_m v_T+g_m i_T R_s)r_o+i_T R_s}{i_T} \\
R &= r_o-g_m R r_o + g_m R_s r_o+R_s \\
R &= \frac{R_s+r_o+g_m R_s r_o}{1+g_m r_o}=r_o//\frac{1}{g_m}+R_s
\end{aligned}
$$

以上这些 MOS 连接均可作为 CS 中的有源负载（active load）。与电阻负载（resistor load）$R_L$ 相比，有源负载可以用更省的面积提供较大的等效电阻。

源极退化的 CS

假设小信号输入 $v_{in}$ 引起了小信号电流 $i_d$。忽略沟道长度调制（即 $r_o=\infty$）。

电阻 $R_s$ 作为源极退化电阻（degeneration resistor）：

$$
\begin{aligned}
v_{gs} &= v_{in}-i_d R_s \\
i_d &= g_m v_{gs}= g_m(v_{in}-i_d R_s) \Rightarrow v_{in}=\frac{i_d}{g_m}+i_d R_s \\
A &= -\frac{v_{out}}{v_{in}}=\frac{i_d R_L}{i_d R_s+\frac{i_d}{g_m}}=\frac{g_m R_L}{g_m R_s+1}
\end{aligned}
$$

[A] diode-connected 负载作为源极退化电阻：

上面我们求了源极退化的二极管接 MOS 的等效电阻 $r_o//\frac{1}{g_m}+R_s$，这里我们把二极管接 MOS 本身作为源极退化电阻，所以 $R_s=r_o//\frac{1}{g_m}$。

代入上式得：

$$
A=\frac{g_{m1} R_L}{g_{m1} R_s+1}=\frac{g_{m1} R_L}{g_{m1}(r_{o2}//\frac{1}{g_{m2}})+1}
$$

[B] 偏置晶体管（biased transistor）作为源极退化电阻：

对应单 NMOS 的情况，$R_s=r_o$，所以：
$$
A=\frac{g_{m1} R_L}{g_{m1} r_{o2}+1}
$$

以上 CS 的 $R_{in}=\infty$，至于 $R_{out}$，使用上节的结论，从 $v_{out}$ pin 看进来组合一下即可。所以有:

A $R_{out}=R_L//(r_{o1}+(\frac{1}{g_{m2}}//r_{o2})+g_{m1} r_{o1}(\frac{1}{g_{m2}}//r_{o2}))$ [图在 Lecture 10 pp.21]
B $R_{out}=R_L//(r_{o1}+g_{m1}r_{o1}r_{o2}+r_{o2})$ [图在 Lecture 10 pp.22]

共栅极放大器

共栅极放大器（Common Gate Amplifier，CG）和 CS 的显著区别是：CS 的输入在 gate，输入端几乎不吸电流；而 CG 的输入在源极，它本身是电流通路的一部分，所以 $v_{in}$ 不仅控制 $i_d$，它还提供输入电流 $i_{in}$。

$$
\begin{aligned}
v_{gs}&=v_g-v_s=-v_{in} \\
i_d &=g_m v_{gs}=-g_m v_{in} \\
\end{aligned}
$$

$i_d<0$，小信号电流的实际方向是从源极流向漏极，抬高 $v_{out}$：CG 是同相的。假设 $i_{in}$ 的方向同样从源极流向漏极，根据 KCL 流入等于流出有：

$$
i_{in}+\frac{v_{out}-v_{in}}{r_o}=-i_d
$$

又因为 $R_L$ 上分压为 $v_{out}$，有：

$$
\begin{aligned}
v_{out}&=i_{in}R_L \\
v_{out}&=(-i_d-\frac{v_{out}-v_{in}}{r_o})R_L \\
v_{out}(-\frac{r_o}{R_L}-1)&=i_d r_o-v_{in} \\
v_{out}&=\frac{(g_m r_o+1) R_L v_{in}}{R_L+r_o}
\end{aligned}
$$

增益为：

$$
A=\frac{v_{out}}{v_{in}}=\frac{(g_m r_o+1) R_L}{R_L+r_o}
$$

输入电阻 $R_{in}=\frac{v_{in}}{i_{in}}$，输出电阻则将 $v_{in}$ 接地，从 $v_{out}$ 处看进来，仍是 $r_o//R_D$。

共漏极放大器

共漏极放大器（Common Drain Amplifier），又称源极跟随器（Source Follower，SF），有源极退化电阻 $R_s$，没有负载电阻 $R_L$。

注意输出端与源极相连，所以 $v_{out}=v_s$。

$$
\begin{aligned}
v_{gs}&=v_g-v_s=v_{in}-v_{out} \\
i_d&=g_m v_{gs}=g_m(v_{in}-v_{out}) \\
\end{aligned}
$$

假设 $v_{in}>v_{out}$，有 $i_d>0$，电流方向为正，由漏极到源极。假设电流同样由漏极到源极经过 $r_o$ 和 $R_s$，根据 KCL 流入 = 流出，有：

$$
i_d+\frac{0-v_{out}}{r_o}=\frac{v_{out}-0}{R_s}
\Rightarrow
v_{out}=\frac{g_m v_{in}}{g_m + \frac{1}{r_o}+\frac{1}{R_s}}
$$

所以有增益：

$$
A=\frac{v_{out}}{v_{in}}=\frac{g_m}{g_m + \frac{1}{r_o}+\frac{1}{R_s}}=\frac{g_m(r_o//R_s)}{1+g_m(r_o//R_s)}\approx 1
$$

$v_{out}$ 会跟随 $v_{in}$，所以 CD 也被称为源极跟随器。

$R_{in}=\infty$

$R_{out}$ 的话，设置 $v_{in}=0$，从 $v_{out}$ 处加测试电压 $v_T$，通过退化电阻抬高 $v_s$，所以 $v_{gs}=-v_T<0$，MOS 产生从源到漏的小信号电流 $g_mv_{gs}$ 和 $r_o$。

根据 KCL 流入等于流出：

$$
\begin{aligned}
i_T&=\frac{v_T}{R_s}+(-g_m v_{gs})+\frac{v_T}{r_o} \\
i_T&=v_T(g_m+\frac{1}{R_s}+\frac{1}{r_o}) \\
R_{out}&=\frac{v_T}{i_T}=\frac{1}{g_m+\frac{1}{R_s}+\frac{1}{r_o}}
\end{aligned}
$$